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    19．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM，若y与x的部分对应值如表所示：
    x…-103…
    y…03/20…
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）抛物线与y轴交于点C，点Q是直线BC下方抛物线上一点，点Q的横坐标为xQ．若S△BCQ≥$\frac{1}{2}$S△BOC，求xQ的取值范围；
    （3）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，-1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F．则当E点位置变化时，直线EF是否经过某个定点？如果是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

    分析 （1）由抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点，（-1，0），（3，0），即可求得抛物线的解析式；
    （2）首先取OB的中点P（$\frac{3}{2}$，0），连接CP，然后过点P作PQ∥BC交抛物线于Q，即为所求；首先求得直线BC的解析式，然后由平行线的性质，求得直线PQ的解析式，再联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即可求得答案；
    （3）首先得到平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2，再过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于N，易得Rt△EPM∽Rt△FPN，再联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，即可求得答案．

    解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点，（-1，0），（3，0），
    ∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），
    ∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$；

    （2）取OB的中点P（$\frac{3}{2}$，0），连接CP，
    则S△PBC=$\frac{1}{2}$S△BOC，
    过点P作PQ∥BC交抛物线于Q，即为所求；
    ∵抛物线与y轴交于点C，
    ∴点C的坐标为：（0，$\frac{3}{2}$），
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
    ∴设直线PQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n，
    ∴-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$+n=0，
    ∴n=$\frac{3}{4}$，
    ∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
    解得：x=$\frac{-3±\sqrt{3}}{2}$，
    若S△BCQ≥$\frac{1}{2}$S△BOC
    则xQ的取值范围为：xQ≥$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或xQ≤$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$；

    （3）平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2，
    过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于N，
    由反射可知：∠EPM=∠FPN，
    ∴Rt△EPM∽Rt△FPN，
    ∴$\frac{KM}{FN}$=$\frac{PM}{PN}$，
    设E（x1，y1）、F（x2，y2），设直线EF的解析式为y=kx+b，
    ∴$\frac{-{x}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+1}{-1-{y}_{2}}$，
    ∴x1（1+y2）+x2（y1+1）=0，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
    整理得x2+2kx+2b=0，
    ∴x1+x2=-2k，x1x2=2b，
    ∵x1（1+y2）+x2（y1+1）=x1（1+kx2+b）+x2（kx1+b+1）=0，
    ∴2bx1x2+（b+1）（x1+x2）=0，
    ∴2kb-2k=0，b=1，
    ∴直线EF的解析式为y=kx+1
    ∴直线EF的过定点（0，1）．

    点评 此题属于二次函数的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数的解析式以及函数的交点问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

    练习册系列答案
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    9．如图，若要得到AD∥EF，需要添加的条件是（只填一个条件）∠2=∠3．

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    10．如图，已知半圆O的直径AB为8，P为OB的中点，C为半圆上一点，连结CP，若将CP沿射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，则平移的距离为$\sqrt{33}$-1．

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    7．图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
    A．B．C．D．

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    14．$\sqrt{5}$介于下列哪两个整数之间（　　）
    A．0与1B．1与2C．2与3D．3与4

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    4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
    （1）求这个二次函数的表达式．
    （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
     

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    11．把下列各数分别填在表示它所在的集合里：-5，-$\frac{3}{4}$，0，-（-3.14），-2.4，$\frac{22}{7}$，2003，-1.99，-（-6），-|-12|
    （1）正分数集合：{-（-3.14），$\frac{22}{7}$　 …}；
    （2）非负数集合：{0，-（-3.14），$\frac{22}{7}$，2003，-（-6）　 …}；
    （3）整数集合：{-5，0，2003，-（-6），-|-12| …}；
    （4）非负整数集合：{0，2003，-（-6） …}；
    （5）有理数集合：{-5，-$\frac{3}{4}$，0，-（-3.14），-2.4，$\frac{22}{7}$，2003，-1.99，-（-6），-|-12| …}．

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    8．解下列方程组
    （1）$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ x-1=\frac{1}{2}（{2y-1}）\end{array}\right.$
    （2）$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=1\\ 2x-3y=5\end{array}\right.$．

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    9．在四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB∥CD，请你添上一个条件：AB=CD，使得四边形ABCD是矩形．

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