Question

填空：
（1）2¹-2⁰=

1

=2^（　　）；2²-2¹=

2

=2^（　　）；2³-2²=

4

=2^（　　）
（2）请用字母表示第n个等式，并验证你的发现．
（3）利用（2）中你的发现，求2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰的值．

Answer 1

分析：（1）根据0次幂的意义和乘方的意义进行计算；
（2）观察各等式得到2的相邻两个正整数幂的差等于2的较小的正整数次幂，即2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n为正整数）；
（3）由于2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，…2²⁰-2¹⁹=2¹⁹，然后把等式左边与左边相加，右边与右边相加即可求解．

解答：解：（1）2¹-2⁰=1=2⁰；2²-2¹=2=2¹；2³-2²=4=2²；

（2）2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n为正整数）；

（3）∵2¹-2⁰=2⁰，
2²-2¹=2¹，
2³-2²=2²，
…
2²⁰-2¹⁹=2¹⁹，
∴2²⁰-2⁰=2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰，
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰的值为2²⁰-1．
故答案为1，2⁰；2，2¹；4，2²．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．