Question

3．已知直线y=2x-3与抛物线y=ax²-x+c交于A、B两点，它们的横坐标分别是2、-1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设坐标原点为O，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把直线代入抛物线解析式中消去y，得到关于x的一元二次方程，然后知道此方程的两个根，求得a，c的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据点A，B的坐标求得AB的长，然后求得直线AB的解析式，并根据点到直线距离公式求得原点到直线AB的距离，即三角形的高，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．

解答 解：（1）∵直线y=2x-3与抛物线y=ax²-x+c交于A、B两点，
∴2x-3=ax²-x+c，即：ax²-3x+c+3=0，
∵直线y=2x-3与抛物线y=ax²-x+c交于A、B两点，它们的横坐标分别是2、-1，
∴2，-1是方程ax²-3x+c+3=0，的两根，
∴2-1=$\frac{3}{a}$，-1×2=$\frac{c+3}{a}$，
∴a=3，c=-9，
∴抛物线的解析式为：y=3x²-x-9，
（2）∵O（0，0），由（1）知A（2，1），B（-1，-5），
∴AB的长为：$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴直线AB的解析式为：y=2x-3，
∴△OAB边AB的高为：|$\frac{-3}{\sqrt{4+1}}$|=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴三角形AOB的面积为：$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{5}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式以及点到直线的距离等知识，解题的关键是求出抛物线的解析式，此题有一定的难度．