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已知:如图,AD是Rt△ABC的角平分线,AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证:FD2=FB•FC.

证明:连接AF,
∵EF是AD的垂直平分线,
∴AF=DF,
∴∠FAE=∠FDE,
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD,∠FDE=∠C+∠CAD,且∠BAD=∠CAD,
∴∠FAB=∠C,
∵∠AFB是公共角,
∴△AFB∽△CFA,

∴FA2=FB•FC,
即FD2=FB•FC.
分析:首先连接AF,可证得△AFC∽△BFA,然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB•FC,则可得FD2=FB•FC.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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A、3:2B、9:4C、2:3D、4:9

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已知:如图,AD是⊙O的弦,OB⊥AD于点E,交⊙O于点C,OE=1,BE=8,AE:AB=1:3.精英家教网
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)点F是弧ACD上的一点,当∠AOF=2∠B时,求AF的长.

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