Question

2．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（-3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．

Answer 1

分析 设交点式y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，再利用待定系数法求出直线AB的解析式y=x+3，设P（t，-t²-2t+3），Q（t，t+3），则PQ=-t²-3t，由于以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积S=S_△PBQ+S_△PCQ，而两三角形的高的和为3，所以S=$\frac{1}{2}$•（-t²-3t）•3=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，然后利用二次函数的性质求解．

解答 解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把A（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
把A（0，3），B（-3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{-3k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=x+3，
设P（t，-t²-2t+3），则Q（t，t+3），
所以PQ=-t²-2t+3-（t+3）=-t²-3t，
以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积S=S_△PBQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•（-t²-3t）•3=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，
当t=-$\frac{-\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=-$\frac{3}{2}$，S有最大值，最大值=$\frac{0-（-\frac{9}{2}）^{2}}{4×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{27}{8}$，此时P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
即P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；从二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式和三角形面积公式．