Question

如图，直线分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5，一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动，设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（t≥0）（秒）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，t为何值时，动圆与直线AB相切；
（3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；
（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？

Answer 1

解：（1）由x-k=0，k≠0，得x=3，
∴B点坐标为（3，0），
∵AB=5，
∴A点坐标为（0，4），
∴直线AB的解析式为y=-x+4；

（2）设t秒时圆与AB相切，此时圆心为C₁或C₂，切点为D₁，D₂，如图所示，连接C₁D₁，C₂D₂，
由△AC₁D₁∽△ABO，得，
即：，
∴，
同理由△AC₂D₂∽△ABO，
可求得，
∴当秒或秒时，圆与直线AB相切；

（3）如图2，①当t=0时，s=3，
②当0＜t＜5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC．，
∴PC∥OB，
∴，即，
∴，
③当t=5时，s=0，
④当t＞5时，设动圆圆心为C₁，动点P在P₁处，连接C₁P₁．
由②同理可知P₁C₁∥OB．
∴，即，
又当t=0或5时，②中s=3或0，
所以综上所述：
当0≤t≤5时，s=-；
当t＞5时，s=；

（4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1，
当s=1时，由，代入得；
由s=，代入得t=．（秒），
∴动点P自刚接触圆面起，经秒后离开了圆面．
分析：（1）在函数解析式中，令y=0，解得B点的横坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式；
（2）当圆与AB相切时△AC₁D₁∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值；
（3）本题应分t=0，0＜t＜5，t=5，t＞5几种情况进行讨论；
（4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1．
点评：本题综合考查了待定系数法求函数解析式，以及直线与圆的位置关系．