Question

20．如图，点P是抛物线y=-x²+4的顶点，将抛物线平移，平移后的抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）顶点Q落在第一象限内，且△ABQ是等边三角形，直线PQ与x轴交于点C，若PQ=$\sqrt{3}$，则BC=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将抛物线y=-x²+4向下平移，顶点为M，与x轴的交点为N、G，当△MNG是等边三角形时，设M（0，m），首先求出m，再根据勾股定理求出PQ，推出点Q坐标，求出直线PQ的解析式，求出点C、B坐标即可解决问题．

解答 解：将抛物线y=-x²+4向下平移，顶点为M，与x轴的交点为N、G，当△MNG是等边三角形时，设M（0，m），
则点G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，0）代入y=-x²+4得到，m=3或0（舍弃），
∴点M坐标（0，3），
∵△QAB是等边三角形，
∴MQ∥x轴，
在RT△PQM中，∵∠PMQ=90°，PM=1，PQ=$\sqrt{3}$，
∴MQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴点Q坐标（$\sqrt{2}$，3），
设直线PQ为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\sqrt{2}k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线PQ为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+4，
∴点C坐标（4$\sqrt{2}$，0），
∵点G坐标（$\sqrt{3}$，0），
∴点B坐标（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，0），
∴BC=4$\sqrt{2}$-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．
故答案为3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线与x轴交点问题、等边三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是将抛物线y=-x²+4向下平移，顶点为M，与x轴的交点为N、G，当△MNG是等边三角形时，求出点M坐标这个突破口，属于中考常考题型．