Question

如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-x-1的图象和反比例函数y=

1

x

的图象．
（1）在一次函数y=-x-1的图象上取点A₁，点A₁的横坐标a₁=2，过点A₁作x轴的垂线交反比例函数y=

1

x

的图象于点B₁，过点B₁作y轴的垂线交一次函数y=-x-1的图象于点A₂…这样依次在一次函数y=-x-1的图象上得到点A₃、A₄、…、A_n，则a₉₈=

 

，a₉₉=

 

，a₁₀₀=

 

．
（2）在第（1）小题操作中，点A₁是一次函数y=-x-1的图象上的任一点（与y轴交点除外），设点A₁的横坐标a₁=k，求点A_n的横坐标a_n．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据条件首先确定A₁、B₁、A₂、B₂、A₃、B₃、A₄、B₄，然后根据得到的点的坐标的规律即可求解；
（2）与（1）解法相同．

解答：解：（1）把x=2代入y=-x-1得y=-3，则A₁的坐标是（2，-3）；
把x=2代入y=

1

x

得：y=

1

2

，则B₁的坐标是（2，

1

2

）；
把y=

1

2

代入y=-x-1得：

1

2

=-x-1，解得：x=-

3

2

，即A₂的坐标是（-

3

2

，

1

2

）；
把x=-

3

2

代入y=

1

x

得：y=-

2

3

，则B₂的坐标是（-

3

2

，-

2

3

）；
把y=-

2

3

代入y=-x-1，得：x=-

1

3

，即A₃的坐标是（-

1

3

，-

2

3

）；
把x=-

1

3

代入y=

1

x

得：y=-3，则B₃的坐标是（-

1

3

，-3）；
把y=3代入y=-x-1得x=2，则A₄的坐标是（2，-3），即A₁．
则点A_n的横坐标分别是：2，-

3

2

，-

1

3

，2，-

3

2

，-

1

3

…，三个循环一次，则a₉₈=-

3

2

，a₉₉=-

1

3

，a₁₀₀=2．
故答案是：-

3

2

，-

1

3

，2；
（2）把x=k代入y=-x-1得y=-k-1，则A₁的坐标是（k，-k-1）；
把x=k代入y=

1

x

得：y=

1

k

，则B₁的坐标是（k，

1

k

）；
把y=

1

k

代入y=-x-1得：

1

k

=-x-1，解得：x=-

k+1

k

，即A₂的坐标是（-

k+1

k

，

1

k

）；
把x=-

k+1

k

代入y=

1

x

得：y=-

k

k+1

，则B₂的坐标是（-

k+1

k

，-

k

k+1

）；
把y=-

k

k+1

代入y=-x-1，得：x=-

1

k+1

，即A₃的坐标是（-

1

k+1

，-

k

k+1

）；
把x=-

1

k+1

代入y=

1

x

得：y=-k-1，则B₃的坐标是（-

1

k+1

，-k-1）；
把y=k+1代入y=-x-1得x=k，则A₄的坐标是（k，-k-1），即A₁．
则点A_n的横坐标分别是：k，-

k+1

k

，-

1

k+1

，…三个循环一次．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的点的坐标的求解，正确确定A₁、B₁、A₂、B₂、A₃、B₃、A₄、B₄之间的关系是关键．