Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，4）．
（Ⅰ）试用含a的代数式分别表示b，c；
（Ⅱ）若直线y=kx+4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且

S△ODE

S△OEF

=

1

3

，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF的长m满足3

2

≤m≤3

5

，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线的顶点坐标，可用顶点式二次函数通式来表示出抛物线的解析式，展开后即可得出b、c的表达式；
（Ⅱ）可先联立直线与抛物线的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，那么这个方程的解即为E、F点的横坐标，那么可根据△ODE和△OEF的面积比以及韦达定理来求k的表达式；
（Ⅲ）可根据E、F的坐标，运用坐标系中两点的距离公式表示出m，然后根据韦达定理和m的取值范围来求出a的取值范围．

解答：解：（I）由已知，可设抛物线的顶点式为y=a（x-2）²+4（a≠0），
即y=ax²-4ax+4a+4．
∴b=-4a，c=4a+4；
（II）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由方程组

y=kx+4 y=ax2-4ax+4a+4

消去y，
得ax²-（4a+k）x+4a=0  （*），
∴x₁+x₂=

4a+k

a

①，
x₁•x₂=4 ②，
又∵

S△ODE

S△OEF

=

1

3

，
∴

S△ODE

S△ODF

=

1

4

，
∴

DE

DF

=

1

4

，
∴|

x1

x2

|=

1

4

，
即|x₂|=4|x₁|，
由②，知x₁与x₂同号，
∴x₂=4x₁③，
由②、③，
得x₁=1，x₂=4；x₁=-1，x₂=-4，
将上面数值代入①，
得

4a+k

a

=±5，
解得k=a或k=-9a，
经验证，方程（*）的判别式△＞0成立，
∴k=a或k=-9a；
（III）∵m²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
而（x₂-x₁）²=9，
由y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，
得（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²=9k²，
∴m²=9（1+k²），
即m=3

1+k2

，
由已知3

2

≤m≤3

5

，
∴

2

≤

1+k2

≤

5

，
即1≤k²≤4，
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1，
当k=a时，有1≤a≤2或-2≤a≤-1，
当k=-9a时，有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1，
即-

2

9

≤a≤-

1

9

或

1

9

≤a≤

2

9

．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及一元二次方根与系数的关系等知识点．