Question

9．如图，已知二次函数y=x²+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）联结AC，求∠BAC的正切值；
（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x²+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC²=2，AB²=18，AC²=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值；
（3）分类讨论：当∠APC=90°时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，利用（2）中结论得tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{1}{3}$，则PC=$\frac{1}{3}$AC，设P（t，t+1），然后利用两点间的距离公式得到方程（t-1）²+（t+1）²=$\frac{1}{9}$•20，再解方程求出t即可得到时P点坐标．

解答 解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵当x=0时，y=x+1=1，
∴B（0，1），
把B（0，1），A（3，4）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{9+3b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x+1；
（2）如图，
∵y=x²-2x+1=（x-1）²，
∴C（1，0），
∴BC²=1²+1²=2，AB²=3²+（4-1）²=18，AC²=（3-1）²+4²=20，
而2+18=20，
∴BC²+AB²=AC²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$；
（3）当∠APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；
当∠ACP=90°时，∵tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{1}{3}$AC，
设P（t，t+1），
∴（t-1）²+（t+1）²=$\frac{1}{9}$•20，解得t₁=-$\frac{1}{3}$，t₂=$\frac{1}{3}$（舍去），此时P点坐标为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．