Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D．
（1）求证：DE=DC．
（2）若DE=2，求△ABC三边的长？

Answer 1

解：（1）连接AD，则AD=DB．
∴∠DAE=∠B=30°，
又∠CAB=90°-∠B=60°，
∴∠DAC=30°．
∴AD平分∠CAB．
∴DE=DC．

（2）若DE=2，则CD=2，AD=BD=4，
∴BC=6．
∴，
∴AB=4．
故△ABC三边分别为2、4、6．
分析：（1）DE是AB的垂直平分线，故连接AD则有AD=DB，再通过求证AD是∠A的平分线，根据角平分线的性质解答即可；
（2）知道DE的长，可求出CD的长，继而求出BC、AC和AB的长．
点评：本题考查了角平分线和垂直平分线的性质及勾股定理的知识，难度不大，注意这些知识的综合应用．