Question

已知抛物线抛物线（n为正整数，且0<a₁<a₂<…<a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1,0）和A_n(b_n，0)，当n=1时，第1条抛物线与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．
（1）求a₁,b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为（       ，       ）；
依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（       ，       ）;
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是       ；
（3）探究下列结论：
①若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵与x轴交于点A₀（0，0），∴―a₁²+ a₁=0，∴a₁=0或1。
由已知可知a₁>0，∴a₁=1。
∴。
令y₁=0代入得：=0，∴x₁=0，x₂=2。
∴y₁与x轴交于A₀（0，0），A₁（2，0）。∴b₁=2。
又∵抛物线与x轴交于点A₁（2，0），
∴―(2―a₂)²+ a₂=0，∴a₂=1或4，∵a₂> a₁，∴a₂=1（舍去）。
∴取a₂=4，抛物线。
（2）（9，9）；（n²，n²）；y=x。
（3）①∵A₀（0，0），A₁（2，0），∴A₀ A₁=2。
又∵，
令y_n=0，得，解得：x₁=n²+n，x₂=n²－n。
∴A _n－1(n²－n，0)，A _n(n²+n，0)，即A _n－1 A _n="(" n²+n)－( n²－n)="2" n。
②存在。是平行于直线y=x且过A₁（2，0）的直线，其表达式为y=x－2。

试题分析：（1）将A₀坐标代入y₁的解析式可求得a₁的值；a₁的值知道了y₁的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b₁的值，又把（b₁，0）代入y₂，可求出a₂，即得y₂的解析式。
（2）用同样的方法可求得a₃、a₄、a₅ ……由此得到规律：
∵抛物线令y₂=0代入得：，∴x₁=2，x₂=6。
∴y₂与x轴交于点A₁（2，0），A₂（6，0）。
又∵抛物线与x轴交于A₂（6，0），∴―(6―a₃)²+a₃=0。∴a₃=4或9。
∵a₃> a₃，∴a₃=4（舍去），即a₃=9。∴抛物线y₃的顶点坐标为（9，9）。

由抛物线y₁的顶点坐标为（1，1），y₂的顶点坐标为（4，4），y₃的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²）。
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x。
（3）①由（2）可知A₀A₁=2，A₁A₂=4，A₂A₃=6，得A _n－1 A _n="2" n。
②猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，即y=x－2。
可用特殊值法验证：取得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为。