Question

小明为了通过描点法作出函数y=x²-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：
x₂-x₁=x₃-x₂=…=x₇-x₆=d，再分别算出对应的y值，列出表：

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	1	3	7	13	21	31	43

记m₁=y₂-y₁，m₂=y₃-y₂，m₃=y₄-y₃，m₄=y₅-y₄，…；s₁=m₂-m₁，s₂=m₃-m₂，s₃=m₄-m₃，…
（1）判断s₁、s₂、s₃之间关系，并说明理由；
（2）若将函数“y=x²-x+1”改为“y=ax²+bx+c（a≠0）”，列出表：

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7

其他条件不变，判断s₁、s₂、s₃之间关系，并说明理由；
（3）小明为了通过描点法作出函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，列出表：

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	10	50	110	190	290	412	550

由于小明的粗心，表中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．

Answer 1

解：（1）s₁=s₂=s₃．m₁=y₂-y₁=3-1=2，
同理m₂=4，m₃=6，m₄=8．
∴s₁=m₂-m₁=4-2=2，
同理s₂=2，s₃=2．
∴s₁=s₂=s₃．

（2）s₁=s₂=s₃．
方法一：m₁=y₂-y₁=ax₂²+bx₂+c-（ax₁²+bx₁+c）
=d[a（x₂+x₁）+b]．
m₂=y₃-y₂=ax₃²+bx₃+c-（ax₂²+bx₂+c）
=d[a（x₃+x₂）+b]．
同理m₃=d[a（x₄+x₃）+b]．
m₄=d[a（x₅+x₄）+b]．
s₁=m₂-m₁=d[a（x₃+x₂）+b]-d[a（x₂+x₁）+b]
=2ad²．
同理s₂=2ad²．
s₃=2ad²．
∴s₁=s₂=s₃．
方法二：∵x₂-x₁=d，
∴x₂=x₁+d，
∴m₁=y₂-y₁=a（x₁+d）²+b（x₁+d）+c-（ax₁²+bx₁+c）
=d[a（2x₁+d）+b]．
又∵x₃-x₂=d，
∴x₃=x₂+d，
∴m₂=y₃-y₂=a（x₂+d）²+b（x₂+d）+c-（ax₂²+bx₂+c）
=d[a（2x₂+d）+b]．
同理m₃=d[a（2x₃+d）+b]．
m₄=d[a（2x₄+d）+b]．
s₁=m₂-m₁=d[a（2x₂+d）+b]-d[a（2x₁+d）+b]
=2ad²．
同理s₂=2ad²．s₃=2ad²．
∴s₁=s₂=s₃．

（3）412．
分析：（1）（2）可分别表示出s₁，s₂，s₃的值，然后进行比较即可．
（3）根据（1）（2）得出的规律，进行判断即可．
点评：本题结合二次函数的相关知识考查了规律性问题的解法．
规律性问题通常要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．