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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．
    （1）求此二次函数的表达式；
    （2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较精英家教网锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．
    分析：（1）已知了抛物线的顶点横坐标为1，即x=-
    b
    2a
    =1，将已知的两点坐标代入抛物线中，联立三式即可求出抛物线的解析式．
    （2）本题要分两种情况讨论：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解题思路都是通过相似三角形得出的关于BD、BC、BO、BA的比例关系式求出BD的长，然后根据∠OBC=45°的特殊条件用BD的长求出D点的坐标．
    （3）本题求解的关键是找出几个特殊位置．
    ①由于∠PCO是锐角，因此要先找出∠PCO是直角时的值，以此来确定P的大致取值范围．去C关于抛物线对称轴的对称点C′（2，3），那么当P、C′重合时，∠PCO=90°，因此∠PCO若为锐角，则P点的横坐标必大于2．
    ②当∠PCO=∠ACO时，根据A点的坐标和抛物线对称轴的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直线CE与抛物线的交点（除C外）就是此时P点的位置．据此可求出此时P点的横坐标．
    根据上面两种情况进行判定即可．
    解答：精英家教网解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
    ∴由
    -
    b
    2a
    =1
    4a+2b+c=3
    9a-3b+c=-12

    解得
    a=-1
    b=2
    c=3
    ．
    ∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3．

    （2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
    在y=-x2+2x+3中，令y=0，则由-x2+2x+3=0，
    解得x1=-1，x2=3．
    ∴A（-1，0），B（3，0）．
    令x=0，得y=3．
    ∴C（0，3）．
    设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
    ∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
    ∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
    ∴|BC|=
    		32+32
    =3
    		2
    ．
    要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
    已有∠B=∠B，则只需
    |BD|
    |BC|
    =
    |BO|
    |BA|
    ，①或
    |BO|
    |BC|
    =
    |BD|
    |BA|
    ②成立．
    若是①，则有|BD|=
    |BO|•|BC|
    |BA|
    =
    3×3
    		2
    4
    =
    9
    		2
    4
    ．
    而∠OBC=45°，
    ∴|BE|=|DE|．
    ∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
    得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（
    9
    		2
    4
    ）2．
    解得|BE|=|DE|=
    9
    4
    （负值舍去）．
    ∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
    9
    4
    =
    3
    4
    ．
    ∴点D的坐标为（
    3
    4
    ，
    9
    4
    ）．
    将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
    ∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
    或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
    此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（
    3
    4
    ，
    9
    4
    ）．
    若是②，则有|BD|=
    |BO|•|BA|
    |BC|
    =
    3×4
    3
    		2
    =2
    		2
    ．
    而∠OBC=45°，
    ∴|BE|=|DE|．
    ∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
    得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2
    		2
    ）2．
    解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
    ∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
    ∴点D的坐标为（1，2）．
    将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
    ∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
    ∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
    使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（
    3
    4
    ，
    9
    4
    ）或（1，2）．

    （3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线y=kx+3（k≠0）与该二次函数的图象交于点P．
    将点E（1，0）的坐标代入y=kx+3中，
    求得k=-3．
    ∴此直线的函数表达式为y=-3x+3．
    设点P的坐标为（x，-3x+3），
    并代入y=-x2+2x+3，得x2-5x=0．
    解得x1=5，x2=0（不合题意，舍去）．
    ∴x=5，y=-12．
    ∴点P的坐标为（5，-12）．
    此时，锐角∠PCO=∠ACO．
    又∵二次函数的对称轴为x=1，
    ∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（2，3）．
    ∴当xp＞5时，锐角∠PCO＜∠ACO；
    当xp=5时，锐角∠PCO=∠ACO；
    当2＜xp＜5时，锐角∠PCO＞∠ACO．
    点评：本题是二次函数综合体，考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、函数图象交点等知识点．综合性强．
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    4
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    在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（-2，-5）和（5，-12）两点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；
    （3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．

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    （1）求此抛物线的函数表达式；
    （2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
    （3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7
    		2
    ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（0，-2），在坐标平面中确定点P，使△AOP与△AOB相似，则符合条件的点P共有
    5
    5
    个．

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    如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．与△ABC与△ABD全等，则点D坐标为
    （1，-1），（5，3）或（5，-1）
    （1，-1），（5，3）或（5，-1）
    ．

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