Question

【题目】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．　　

利用展开图4探究：

（1）△AEF是什么三角形?证明你的结论；

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△AEF是等边三角形（2）不一定

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知b≤时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a 时，不能折出；

试题解析：（1）△AEF是等边三角形．

由折叠过程易得：

∵BC∥AD，∴）

∴△AEF是等边三角形．

（2）不一定．

当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，

即矩形的宽∶长＝AB∶AF＝sin60°＝时正好能折出．

如果设矩形的长为a，宽为b，

可知当时，按此法一定能折出等边三角形；

当时，按此法无法折出完整的等边三角形．