Question

已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0，
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．

Answer 1

分析：（1）要使原方程没有实数根，只需△＜0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；
（2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，再根据根与系数的关系求得两根的平方和．

解答：解：（1）∵方程没有实数根
∴b²-4ac=[-2（m+1）]²-4m²=8m+4＜0，
∴m＜-

1

2

，
∴当m＜-

1

2

时，原方程没有实数根；
（2）由（1）可知，m≥-

1

2

时，方程有实数根，
∴当m=1时，原方程变为x²-4x+1=0，
设此时方程的两根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-2=14，
∴当m=1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14．

点评：此题要求学生能够用根的判别式求解字母的取值范围，熟练运用根与系数的关系求关于两个根的一些代数式的值．