【题目】如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,OC垂直AD于F交⊙O于E,连结DE,BE,且∠C=∠BED.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OA=10,AD=16,求AC的长.
【答案】(1)见解析;(2)AC=.
【解析】
(1)首先证明∠BAD=∠C,然后证明∠C+∠AOC=90°,即可证得∠OAC=90°,即OA⊥AC,从而得证;
(2)根据垂径定理和勾股定理求出OF的长,再根据△OAF∽△OCA,得出比例式,从而求出AC的长.
解:(1)证明:∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED,
∴∠BAD=∠C.
∵OC⊥AD于点F,
∴∠BAD+∠AOC=90°,
∴∠C+∠AOC=90°,
∴∠OAC=90°.
∴OA⊥AC,
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵OC⊥AD于点F,
∴AF=AD=8,在Rt△OAF中,OF==6.
∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C,
∴△OAF∽△OCA,
∴=,∴
∴AC=.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,且BC=CD,过C作CE⊥AD,交AD延长线于E,交AB延长线于F点,
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AB=4ED,求cos∠ABC的值.
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【题目】如图1,圆内接四边形ABCD,AD=BC,AB是⊙O的直径.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2,连接OD,作∠CBE=2∠ABD,BE交DC的延长线于点E,若AB=6,AD=2,求CE的长;
(3)如图3,延长OB使得BH=OB,DF是⊙O的直径,连接FH,若BD=FH,求证:FH是⊙O的切线.
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【题目】901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个),为了了解学生参加社团的情况,学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计,绘制成了如图不完整的扇形统计图,已知参加“读书社”的学生有15人,请解答下列问题:
(1)该班的学生共有 名;
(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同,请你计算,“吉他社”对应扇形的圆心角的度数;
(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员,现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动,请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率.
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【题目】如图,把矩形纸片ABCD沿EF翻折,点A恰好落在BC边的A′处,若AB= ,∠EFA=60°,则四边形A′B′EF的周长是( )
A. 1+3 B. 3+ C. 4+ D. 5+
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【题目】如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.
(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:AC=AM;
(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.
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