Question

13．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④OE=OD+OC．其中正确结论的个数 （　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，证出∠ACE=∠BCD，由SAS证明△AC≌△BCE，得出AE=BD，①正确；∠CAG=∠CBF，由AAS证明△ACG≌△BCF，得出AG=BF，CG=CF，②正确；证明△CFG是等边三角形，得出∠GFC=∠ACB，证出FG∥BE；③正确；在OE上截取OG=OD，连接DM，由SAS证明△DME≌△DOC，得出ME=OC，得出④正确；即可得出结论．

解答 解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AC≌△BCE（SAS），
∴AE=BD，①正确；
∠CAG=∠CBF，
∵∠ACG=180°-2×60°=60°，
∴∠ACG=∠BCF=60°，
在△ACG和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BCF}&{\;}\\{∠CAG=∠CBF}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCF（AAS），
∴AG=BF，CG=CF，②正确；
∵∠ACG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠GFC=60°=∠ACB，
∴FG∥BE；③正确；
在OE上截取OM=OD，连接DM，如图所示：
∵∠DOM=∠OBC+∠OEB=∠CAG+∠OEB=60°，
∴△ODM是等边三角形，
∴OD=DM，∠ODG=∠CDE=60°，
∴∠ODC=∠MDE，
在△DME和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=OD}&{\;}\\{∠MDE=∠ODC}&{\;}\\{DE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△DOC（SAS），
∴ME=OC，
∵OE=OM+ME，
∴OE=OD+OC，④正确；
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．