Question

9．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．
（1）求证：BC=AB+AP；
（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．

Answer 1

分析 （1）先在BC上截取BD=BA，连接PD，再根据SAS判定△ABP≌△DBP，得出AP=DP，再证明CD=PD，即可由BC=DB+CD，得到BC=AB+AP；
（2）先在AD上截取AD=AB，连接PD，再根据SAS判定△ABP≌△ADP，得出BP=DP，再证明CD=PD，即可由AC=AD+CD，得到AC=AB+BP．

解答 证明：（1）如图1，在BC上截取BD=BA，连接PD，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP=∠DBP，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP，∠BAP=∠BDP，
∵△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACB，
∴∠BAP=∠BDP=45°，∠DCP=22.5°，
∴∠DPC=∠BDP-∠DCP=22.5°，
∴∠DCP=∠DPC，
∴CD=PD=AP，
∵BC=DB+CD，
∴BC=AB+AP；

（2）如图2，在AD上截取AD=AB，连接PD，
∵AP平分∠DAB，
∴∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴∠ADP=∠ABP，BP=DP，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ADP=∠ABP=30°，
又∵CP平分∠ACB，∠ACB=30°，
∴∠DCP=15°，
∴∠DPC=∠ADP-∠DCP=15°，
∴∠DCP=∠DPC，
∴CD=PD=BP，
∵AC=AD+CD，
∴AC=AB+BP．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．解题时注意“截长补短”的运用．