Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD = 90°，以AD为直径的半圆D与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD = 12，∠BCD = 60°，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积．

Answer 1

（1）∵AB，BC，CD均与半圆O相切，∴∠ABO =∠CBO，∠DCD =∠BCO．
又 AB∥CD，∴∠ABC +∠BCD = 180°，即∠ABO +∠CBO +∠BCO +∠DCO = 180°．
∴ 2∠CBO + 2∠BCO = 180°，于是∠CBO +∠BCO = 90°，
∴∠BOC = 180°－（∠CBO +∠BCO）= 180°－90° = 90°，即 OB⊥OC．
（2）设CD切⊙O₁于点M，连接O₁M，则O₁M⊥CD．设⊙O₁的半径为r．
∵∠BCD = 60°，且由（1）知∠BCO =∠O₁CM，∴∠O₁CM = 30°．
在Rt△O₁CM中，CO₁ =" 2" O₁M =" 2" r．在Rt△OCD中，OC =" 2" OD =" AD" = 12．
∵⊙O₁与半圆D外切，∴ OO₁ =" 6" + r，于是，由 OO₁ + O₁C =" OC" 有 6 + r + 2 r = 12，
解得 r = 2，因此⊙O₁的面积为4p．

解析