Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，3)，抛物线G：y=x2－2x+c(c为常数)的顶点坐标为M，其对称轴与x轴相交于点N．

(1)若抛物线G经过点A，求出其解析式，并写出点M的坐标．

(2)若点B(x1，y1)和点C(x1+3，y2)在抛物线G上，试比较y1，y2的大小．

(3)连接OM，若45°≤∠MON≤60°，请直接写出c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）（2）当x＞-时，y2＞y1；当x=-时，y2=y1；当x＜-时，y2＜y1；（3）2≤c≤1+或1-≤c≤0

【解析】

（1）把点A代入抛物线解析式求出c的值 ，得到抛物线的解析式进行配方即可得到M的坐标；

（2）先确定抛物线的对称轴，再将点B与点C分三种位置关系讨论求解即可；

（3）分别求出∠MON=45°时和∠MON=60°时c的值，即可求出45°≤∠MON≤60°时，c的取值范围．

把A（2，3）代入抛物线得4-4+c=3，

解得c=3，

∴y=x2-2x+3=(x-1)2+2

∴M(1,2)；

（2）∵y=x2-2x+c，

∴对称轴为：x=1，

∴当x≤1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大，

①当B、C都在对称轴左侧时，x1+3≤1即x1≤-2时，y1＞y2；

②当B、C都在对称轴右侧时，x1≥1时，y1＜y2；

③当B在对称轴左侧、C在对称轴右侧时，x1＜1且x1+3＞1，

∴-2＜x1＜1

点B关于x=1的对称点为(2-x1，y1)

当2-x1＜x1+3时，x1＞-，y1＜y2，

当2-x1＞x1+3时，x1＜-，y1＞y2，

当2-x1=x1+3时，x1=-，y1=y2，

综上所述，

当x＞-时，y2＞y1；当x=-时，y2=y1；当x＜-时，y2＜y1；

（3）∵y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,

∴顶点坐标为M（1,c-1）,

∵对称轴与x轴交于点N，

∴N(1,0)

∴ON=1,

当∠MON=45°时，在Rt△MON中，,

∴|c-1|=1,

∴c=2或c=0;

当∠MON=60°时，在Rt△MON中，,

∴|c-1|=,

∴c=+1或c=1-,

∴当45°≤∠MON≤60°时，2≤c≤1+或1-≤c≤0.