Question

19．如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=AC=1，M为边AB中点，D为AC边上任意一点，联结DM并延长与CB延长线交于点E．设AD=x，BE=y．
（1）求y=f（x），并写出x的取值范围；
（2）能否以AD、BE为两边构成一个等腰直角三角形？如不能，请说明理由；如能，请求出AD、BE的长和这个等腰直角三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）过B作BF∥AC交DE于F，通过△ADM≌△BFM，得到AD=BF=x，由于△EBF∽△ECD，得到$\frac{BF}{CD}=\frac{BE}{CE}$，于是得到$\frac{x}{1-x}=\frac{y}{1+y}$，即可得到结论；
（2）以AD、BE为两边不能构成一个等腰直角三角形，以AD，BE分别为斜边时，把y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x或y=$\sqrt{2}$x，分别代入（1）中的解析式得到x值，由（1）知：0＜x＜$\frac{1}{2}$，于是得到以AD、BE为两边不能构成一个等腰直角三角形．

解答 解：过B作BF∥AC交DE于F，
∴∠A=∠ABF，
∵M为边AB中点，
∴AM=BM，
在△ADM与△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MBF}\\{AM=BM}\\{∠AMD=∠BMF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BFM，
∴AD=BF=x，
∵AC=BC=1，
∴CD=1-x，CE=1+y，
∵BF∥AC，
∴△EBF∽△ECD，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{BE}{CE}$，
即：$\frac{x}{1-x}=\frac{y}{1+y}$，
∴y=$\frac{x}{1-2x}$  （0＜x＜$\frac{1}{2}$）；

（2）以AD、BE为两边不能构成一个等腰直角三角形，
理由：当以AD为斜边，则y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{x}{1-2x}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}}$＜0，
当以BE为斜边，则y=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=$\frac{x}{1-2x}$，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
由（1）知：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴以AD、BE为两边不能构成一个等腰直角三角形．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．