Question

如图，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α(0°＜α＜90°)．

(1)求证：∠EAP＝∠EPA；

(2)□APCD是否为矩形？请说明理由；

(3)如图，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点)．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中 　　∵∠ABC＝∠AEP，∠BAC＝∠EAP 　　∴∠ACB＝∠APE 　　在ΔABC中，AB＝BC 　　∴∠ACB＝∠BAC 　　∴∠EPA＝∠EAP 　　(2)答：□APCD是矩形 　　∵四边形APCD是平行四边形 　　∴AC＝2EA，PD＝2EP 　　∵由(1)知∠EPA＝∠EAP 　　∴EA＝EP 　　则AC＝PD 　　∴□APCD是矩形 　　(3)答：EM＝EN 　　∵EA＝EP　∴∠EPA＝90°－α 　　∴∠EAM＝180°－∠EPA＝180°－(90°－α)＝90°＋α 　　由(2)知∠CPB＝90°，F是BC的中点，∴FP＝FB 　　∴∠FPB＝∠ABC＝α 　　∴∠EPN＝∠EPA＋∠APN＝∠EPA＋∠FPB＝90°－α＋α＝90°＋α 　　∴∠EAM＝∠EPN 　　∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN 　　∴∠AEP＝∠MEN 　　∴∠AEP－∠AEN＝∠MEN－∠AEN即∠MEA＝∠NEP 　　∴ΔEAM≌ΔEPN　∴EM＝EN