Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），

令x=0，得y=2，

∴点C坐标（0，2）

（2）

解：由图象可知AB只能为平行四边形的边，

∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，

∴点E的横坐标为﹣7或5，

∴点E坐标（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此时点F（﹣1，﹣ ），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6× =

（3）

如图所示，

①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN= = ，

∴点M1坐标（﹣1，2+ ），点M2坐标（﹣1，2﹣ ）．

②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，

线段AC的垂直平分线为y=x，

∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．

③当点A为顶点的等腰三角形不存在．

综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1.2﹣ ）．

【解析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和平行四边形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．