Question

1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF．
（1）求证：四边形ACEF是矩形；
（2）求四边形ACEF的周长．

Answer 1

分析 （1）由对角线互相平分的四边形为平行四边形的订单ACEF为平行四边形，再由ABCD为菱形，得到AD=CD，进而得到AE=CF，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证；
（2）由三角形ACD为等边三角形，得到AC=AB=1，利用矩形对边相等得到EF=AC=1，过点D作DG⊥AF于点G，利用锐角三角函数定义求出AG的长，得到AF的长，即可求出矩形ACEF的周长．

解答 解：（1）∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AB=1，
∵四边形ACEF为矩形，
∴EF=AC=1，
过点D作DG⊥AF于点G，

∴AG=FG=AD×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AF=CE=2AG=$\sqrt{3}$，
∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF=1+$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{3}$=2+2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了矩形的判定与性质，以及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．