精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图1,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小,请在图中画出点P的位置,并求点P的坐标;
(3)如图2,若点D是第一象限抛物线上的一个动点,过D作DE⊥x轴,垂足为E.
①有一个同学说:“在第一象限抛物线上的所有点中,抛物线的顶点Q与x轴相距最远,所以当点D运动至点Q时,折线D-E-O的长度最长”,这个同学的说法正确吗?请说明理由.
②若DE与直线BC交于点F.试探究:四边形DCEB能否为平行四边形?若能,请直接写出点D的坐标;若不能,请简要说明理由.
(1)y-(x-2)2+9,Q(2,9);(2)(2,3);(3)

试题分析:(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值,然后配方后即可确定其顶点坐标;
(2)连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式,最后求得其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标;
(3)①设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11<相比较即可得到答案;
②假设四边形DCEB为平行四边形,则可得到EF=DF,CF=BF.然后根据DE∥y轴求得DF,得到DF>EF,这与EF=DF相矛盾,从而否定是平行四边形.
(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x2+bx+c中,得
,解得
∴y=-x2+4x+5.
∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴Q(2,9).

(2)如图1,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.
∵AC长为定值,∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴x=2的对称点是点B(5,0),抛物线y=-x2+4x+5与y轴交点C的坐标为(0,5).
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小.
设直线BC的解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,
∴y=-x+5,
∴当x=2时,y=3,
∴点P的坐标为(2,3).
(3)①这个同学的说法不正确.
∵设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,则L=?t2+4t+5+t=?t2+5t+5=?(t?)2+
∵a<0,
∴当t=时,L最大值=
而当点D与Q重合时,L=9+2=11<
∴该该同学的说法不正确.
②四边形DCEB不能为平行四边形.
如图2,若四边形DCEB为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.
∵DE∥y轴,
,即OE=BE=2.5.
当xF=2.5时,yF=-2.5+5=2.5,即EF=2.5;
当xD=2.5时,yD=?(2.5?2)2+9=8.75,即DE=8.75.
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25>2.5.即DF>EF,这与EF=DF相矛盾,
∴四边形DCEB不能为平行四边形.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,抛物线轴交于两点,与轴交于点,连结AC,若
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线对称轴上有一动点P,当时,求出点的坐标;
(3)如图2所示,连结是线段上(不与重合)的一个动点.过点作直线,交抛物线于点,连结,设点的横坐标为.当t为何值时,的面积最大?最大面积为多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述改函数的函数值随自变量的增减而增减的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,?)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

将一条抛物线向左平移2个单位后得到了y=2x2的函数图象,则这条抛物线是(   )  
A.y=2x2+2B.y=2x2-2C.y=2(x-2)2D.y=2(x+2)2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,点A坐标为(0,6),点C坐标为(3,0),BC=,一抛物线过点A、B、 C.
(1)填空:点B的坐标为   
(2)求该抛物线的解析式;
(3)作平行于x轴的直线与x轴上方的抛物线交于点E 、F,以EF为直径的圆恰好与x轴相切,求该圆的半径.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:二次函数中的满足下表:

……

0
1
2
3
……

……
0




……
(1)求的值;
(2)根据上表求时的的取值范围;
(3)若两点都在该函数图象上,且,试比较的大小.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( )
A.图象的开口向下
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x<1时,y随x的增大而减小
D.图象的对称轴是直线x=-1

查看答案和解析>>

同步练习册答案