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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,BAC=120°,AB=AC=2,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使ADE=30°.

(1)求证:ABD∽△DCE;

(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;

(3)当ADE是等腰三角形时,求AE的长.

【答案】(1)证明见解析(2)y=x+2(0x2(3)ADE是等腰三角形时,AE=4﹣2

【解析】

试题分析:(1)根据两角相等证明:ABD∽△DCE;

(2)如图1,作高AF,根据直角三角形30°的性质求AF的长,根据勾股定理求BF的长,则可得BC的长,根据(1)中的相似列比例式可得函数关系式,并确定取值;

(3)分三种情况进行讨论:当AD=DE时;当AE=ED时;当AD=AE时讨论即可得到答案.

试题解析:(1)∵△ABC是等腰三角形,且BAC=120°,

∴∠ABD=ACB=30°,

∴∠ABD=ADE=30°,

∵∠ADC=ADE+EDC=ABD+DAB,

∴∠EDC=DAB,

∴△ABD∽△DCE;

(2)如图1,AB=AC=2,BAC=120°,

过A作AFBC于F,

∴∠AFB=90°,

AB=2,ABF=30°,

AF=AB=1,

BF=

BC=2BF=2

则DC=2﹣x,EC=2﹣y,

∵△ABD∽△DCE,

化简得:y=x+2(0x2);

(3)当AD=DE时,如图2,

由(1)可知:此时ABD∽△DCE,

则AB=CD,即2=2﹣x,

x=2﹣2,代入y=x+2,

解得:y=4﹣2,即AE=4﹣2

当AE=ED时,如图3,

EAD=EDA=30°,AED=120°,

∴∠DEC=60°,EDC=90°,

则ED=EC,即y=(2﹣y),

解得:y=,即AE=

当AD=AE时,

AED=EDA=30°,EAD=120°,

此时点D与点B重合,不符合题意,此情况不存在,

ADE是等腰三角形时,AE=4﹣2

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