Question

如图，已知AC切⊙O于C点，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点，若AC=PC．
求证：（1）BD=2BP；（2）PC=3BP．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵D、C是切点，PC是直径，OD是半径，
∴∠BDO=∠ACB=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴，
∵AC=PC=2OD，
∴BD=BC．①
又BD²=BP•BC，②
②÷①，得BD=2BP．

（2）由BD²=BP•BC，
又∵BC=BP+PC，BD=2BP，
∴4BP²=BP（BP+PC），
∴4BP=BP+PC，
∴PC=3BP．
分析：（1）连接OD，由于AB、AC都是切线，那么有∠BD=∠ACB=90°，而∠B=∠B，所以△BDO∽△BCA，再利用相似比，结合AC=PC=2OD，可得BD=BC①，而BD²=BP•BC②，②÷①即可求；
（2）由于BC=BP+PC，BD=2BP，BD²=BP•BC，所以有4BP²=BP（BP+PC），等式左右同除以BP，化简后即可求证．
点评：本题利用了相似三角形的判定和性质、等式的性质、切割线定理等知识．