Question

如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+

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∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=

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mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC=90°+

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∠A正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=

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mn正确；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO与△CFO是等腰三角形，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得④正确．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=

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∠ABC，∠OCB=

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∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-

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∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

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∠A；故①正确；
假设EF是△ABC的中位线，则EA=EB，FA=FC，
∴EO=EA，FO=FA，
∴EA+FA=EO+FO=EF，
推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，
∴EF不可能是△ABC的中位线，故②结论正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

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AE•OM+

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AF•OD=

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OD•（AE+AF）=

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mn；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，FO=FC，
∴EF=EO+FO=BE+CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确．
∴其中正确的结论是①②③④．
故选D．

点评：此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．