Question

9．如图，已知一次函数y₁=$\frac{1}{2}$x+b的图象1与二次函数y₂=-x²+mx+b的图象都经过点B（0，1）和点C，且二次函数的图象经过点A（2-$\sqrt{5}$，0）
（1）求二次函数的最大值；
（2）求使y₂＞y₁成立的x取值的所有整数和；
（3）若点F、G在二次函数图象上．长度为$\sqrt{5}$的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，求当四边形DEFG的面积最大时，点D、E的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y₁与y₂，求出点C的坐标为C（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$），因此使y₂＞y₁成立的x的取值范围为0＜x＜$\frac{7}{2}$，得s=1+2+3=6；
（3）四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y₂=-x²+mx+b经过点B（0，1）与A（2-$\sqrt{5}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-（2-\sqrt{5}）^{2}+（2-\sqrt{5}）m+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴l：y₁=$\frac{1}{2}$x+1；
∴y₂=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，
∴y_max=5；

（2）联立y₁与y₂得：$\frac{1}{2}$x+1=-x²+4x+1，解得x=0或x=$\frac{7}{2}$，
当x=$\frac{7}{2}$时，y₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$+1=$\frac{11}{4}$，
∴C（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$）．
使y₂＞y₁成立的x的取值范围为0＜x＜$\frac{7}{2}$，
∴s=1+2+3=6．

（3）∵点D、E在直线l：y₁=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴设D（p，$\frac{1}{2}$p+1），E（q，$\frac{1}{2}$q+1），其中q＞p＞0．
如图，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q-p，DH=$\frac{1}{2}$（q-p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH²+DH²=DE²，即（q-p）²+[$\frac{1}{2}$（q-p）]²=（$\sqrt{5}$）²，
解得q-p=2，即q=p+2．
∴EH=2，E（p+2，$\frac{1}{2}$p+2）．
当x=p时，y₂=-p²+4p+1，
∴G（p，-p²+4p+1），
∴DG=（-p²+4p+1）-（$\frac{1}{2}$p+1）=-p²+$\frac{7}{2}$p；
当x=p+2时，y₂=-（p+2）²+4（p+2）+1=-p²+5，
∴F（p+2，-p²+5），
∴EF=（-p²+5）-（$\frac{1}{2}$p+2）=-p²-$\frac{1}{2}$p+3．
S_{四边形DEFG}=$\frac{1}{2}$（DG+EF）•EH=$\frac{1}{2}$[（-p²+$\frac{7}{2}$p）+（-p²-$\frac{1}{2}$p+3）]×2=-2p²+3p+3
∴当p=$\frac{3}{4}$时，四边形DEFG的面积取得最大值，
∴D（$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{8}$）、E（$\frac{11}{4}$，$\frac{19}{8}$）．

点评 本题是二次函数综合问题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、勾股定理等知识点，涉及考点众多，难度较大．