Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4.8

【解析】

设DE的中点为F，圆F与AB的切点为P，连接FP，连接CF，CP，则有FP⊥AB；FC+FP＝DE，由三角形的三边关系知，CF+FP＞CP；只有当点F在CP上时，FC+FP＝PC有最小值为CP的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CP上时，DE＝CP有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CP＝BCAC÷AB＝4.8．

解：如图，设DE的中点为F，圆F与AB的切点为P，连接FP，连接CF，CP，则FP⊥AB．

∵AB＝10，，

∴AC＝8，BC＝6

∵∠ACB＝90°，

∴FC+FP＝DE，

∴CF+FP＞CP，

∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CP上时，PC＝DE有最小值，

∴DE＝CP＝＝4.8

故答案为4.8．