Question

已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的正△DEF，且a-b=2，则△AEF的内切圆半径为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,等边三角形的性质

专题：

分析：由于△ABC、△EFD都是等边三角形，可证得△AEF≌△BFD≌△CDE，即可求得△AEF的周长，然后根据正三角形的性质，求得△ABC与△DEF的面积，继而求得△AEF的面积，再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．

解答：解：设△AEF的内切圆半径为r，
∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，
∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，
∴∠AFE=∠BDF，
同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE，
∴AF=BD，AE+AF+EF=a+b，
S_△ABC=

3

4

a²，S_△DEF=

3

4

b²，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

3

12

（a²-b²），
则r=

2 S△AEF

AE+AF+EF

=

3

6

（a-b）=

3

3

．

点评：此题考查了等边三角形的性质、三角形的内切圆直角三角形的性质等知识．此题综合性强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与整体思想的应用．