Question

如果二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），且直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3，则这个二次函数解析式为 .

Answer 1

y=x2﹣4x+8或y=﹣x2+x+．

【解析】

试题分析：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），利用顶点法设该二次函数解析式为y=a（x﹣2）2+4．根据直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，则可确定P点的坐标，并设Q、R点的坐标为（x1，y1）和（x2，y2）．根据两点间的距离公式与PQ：QR=1：3求得|x2|与|x1|的比值．直线y=x+4与抛物线相交于Q、R两点列出方程a（x﹣2）2+4=x+4，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出x1、x2、a的值．因此抛物线即可确定．

试题解析：∵图象的顶点坐标是（2，4），

∴所以二次函数解析式为y=a（x﹣2）2+4 ①，

∵直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，

∴P点的坐标是（0，4），设Q、R点的坐标为（x1，y1）和（x2，y2），则y1=x1+4，y2=x2+4，

∵|PQ|=，

|PR|=，

∵PQ：QR=1：3且P在QR之处，

∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4， |x1|： |x2|=1：4，

∴|x2|=4|x1|②，

又x1，x2是抛物线与直线交点的横坐标，

∴a（x﹣2）2+4=x+4，即ax2﹣（4a+1）x+4a=0，

∴a（x2﹣x+4）=0，

由韦达定理，，

由③得，x1、x2同号，再由②得 x2=4x1，

∴x1=±1，x2=±4，从④得a=1，或a=﹣

∴y=x2﹣4x+8或y=﹣x2+x+，

考点：二次函数综合题．