Question

【题目】类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”

（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；

（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；

（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝2．在AB的垂直平分线上是否存在点P使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”？若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BC=5；（2）正确，理由见解析；（3）存在四种情况，或+1或+1或。

【解析】

（1）根据勾股定理计算BC的长；

（2）正确，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得结论；

（3）有四种情况：作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论．

解：（1）如图1，Rt△ACB中，∵BD＝4，CD＝AB＝3，

∴BC＝＝5，

（2）正确，理由是：

如图3，AB＝AD＝BC，AC⊥BD，

∴AO＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝BC，

∴ABCD是菱形；

（3）存在四种情况，

①如图2，四边形ABPC是“准等边四边形”，过C作CF⊥PE于F，则∠CFE＝90°，

∵EP是AB的垂直平分线，

∴∠AEF＝∠A＝90°，

∴四边形AEFC是矩形，

Rt△ABC中，BC＝2，AC＝BC，

∴AC＝BC＝，

∴CF＝AE＝BE＝，

∵AB＝PC＝，

∴PF＝＝，

∴S四边形ABPC＝S△BEP+S矩形AEFC+S△CFP，

＝，

＝，

＝．

②如图4，四边形APBC是“准等边四边形”，

∵AP＝BP＝AC＝＝AB，

∴△ABP是等边三角形，

∴S四边形ACBP＝S△APB+S△ABC＝+＝+1；

③如图5，四边形ACBP是“准等边四边形”，

∵AP＝BP＝BC＝2，

∵PE是AB的垂直平分线，

∴PD⊥AB，E是AB的中点，

∴BE＝AB＝，

∴PE＝＝＝，

∴S四边形ACBP＝S△APB+S△ABC＝＝+1；

④如图6，四边形ABPC是“准等边四边形”，过P作PF⊥AC于F，连接AP，

∵AB＝AC＝PB＝，

∴PE＝，

S四边形ABPC＝S△APB+S△APC＝．