Question

如图，MN=10是⊙O的直径，AE⊥MN于E，CF⊥MN于F，AE=4，CF=3，
（1）在MN上找一点P，使PA+PC最短；
（2）求出PA+PC最短的距离．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）根据圆的对称性可知：MN为圆的一条对称轴，所以延长AE交圆于H，连接CH交MN于P，则P为所求，即此时PA+PC最短；
（2）连接OA，OC，利用勾股定理可求出OE，OF的长，进而可求出OP的长，再利用勾股定理即可求出CP和PH的长，则PA+PC最短的距离可求出．

解答：解：（1）如图所示：

（2）连接OA，OC，
∵MN=10是⊙O的直径，
∴OA=OC=5，
∵AE=4，CF=3，
由勾股定理可得：OE=3，OF=4，
∴OP=1，
∴EP=4，PF=3，
∴PH=

42+42

=4

2

，CP=

32+32

=3

2

，
∴CH=CP+PH=7

2

，
∴PA+PC最短的距离7

2

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点以及垂径定理和勾股定理的运用．