Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+b分别与x轴、y轴交于点A，B，且点A坐标为（8，0），点C为AB的中点．
（1）求点B的坐标．
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数解析式（请直接写出自变量m的取值范围）
（3）当点P在线段AB（点M不与A，B重合）上运动时，在坐标系第一象限内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形，存在求出N点坐标，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A坐标带入直线AB解析式中求出b值，从而得出直线AB的解析式，再令直线AB的解析式中x=0求出y值，即可得出点B的坐标；
（2）根据A、B点的坐标求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线OC的解析式，找出点P、Q的坐标，由此即可得出d与m的函数解析式；
（3）假设存在，设点P的坐标为（n，-$\frac{3}{4}$n+6）（0＜n＜8）．分两种情况，分别以BP、OP为对角线做菱形，画出图形（由此可排除OP为对角线的菱形不存在），根据菱形的性质找出点P、N的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+b过点A（8，0），
∴0=-6+b，解得：b=6，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6．
令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0，则y=6，
∴点B的坐标为（0，6）．
（2）依照题意画出图形，如图3所示．
∵A（8，0），B（0，6），且点C为AB的中点，
∴C（4，3）．
设直线OC的解析式为y=kx（k≠0），
则有3=4k，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直线OC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x．
∵点P在直线AB上，点Q在直线OC上，点P的横坐标为m，PQ⊥x轴，
∴P（m，-$\frac{3}{4}$m+6），Q（m，$\frac{3}{4}$m）．
当m＜4时，d=-$\frac{3}{4}$m+6-$\frac{3}{4}$m=-$\frac{3}{2}$m+6；
当m＞4时，d=$\frac{3}{4}$m-（-$\frac{3}{4}$m+6）=$\frac{3}{2}$m-6．
故d与m的函数解析式为d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+6（m＜4）}\\{\frac{3}{2}m-6（m＞4）}\end{array}\right.$，
（3）假设存在，设点P的坐标为（n，-$\frac{3}{4}$n+6）（0＜n＜8）．
∵点P在第一象限，
∴以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形有两种情况：
①以BP为对角线时，如图4所示．
∵四边形OPNB为菱形，B（0，6），
∴OP=OB=6=$\sqrt{{n}^{2}+（-\frac{3}{4}n+6）^{2}}$，
解得：n=$\frac{144}{25}$或n=0（舍去），
∴点P（$\frac{144}{25}$，$\frac{42}{25}$），
∴点N（$\frac{144}{25}$+0-0，6+$\frac{42}{25}$-0），即（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）；
②以OP为对角线时，如图5所示．
此时点P在第一象限，但点N在第四象限，故此种情况不合适．
综上得：当点P在线段AB（点M不与A，B重合）上运动时，在坐标系第一象限内存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形，N点坐标为（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是：（1）求出b值；（2）找出点P、Q的坐标；（3）确定点P、N的位置．本题属于中档题，难度不大，第（3）小问是该题的难点，在考虑菱形时需要分类讨论，哪怕那种情况不存在也需要说明理由．