Question

【题目】问题情境：在中，，点是的中点，以为角的顶点作．

感知易证：（1）如图1，当射线经过点时，交边于点.将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，使射线、始终分别交边，于点、，如图2所示，易证，则有．

操作探究：（2）如图2，与是否相似，若相似，请证明；若不相似，请说明理由；

拓展应用：（3）若，直接写出当（2）中的旋转角为多少度时，与相似．

Answer 1

【答案】（1）CD；（2）△BDF∽△DEF，理由见详解；（3）10°或40°．

【解析】

（1）如图2，根据∠EDF＝∠B及三角形外角性质可得∠BFD＝∠CDE，再根据∠B＝∠C即可得到△BFD∽△CDE解决问题．

（2）如图2，由（2）得△BFD∽△CDE，则有，由D是BC的中点可得．再根据∠B＝∠EDF即可得到△BDF∽△DEF．

（3）由∠B＝∠C＝50°可得∠BAC＝80°，AB＝AC，再由BD＝CD可得AD⊥BC．若△DEF与△ABC相似，由△BDF∽△DEF可得△BDF与△ABC相似，从而得到∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，即可解决问题．

解：（1）如图2，

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C，

∵∠FDC是△BFD的一个外角，

∴∠FDC＝∠B+∠BFD．

∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，∠EDF＝∠B，

∴∠BFD＝∠CDE．

∵∠B＝∠C，

∴△BFD∽△CDE；

∴．

（2）如图2，结论：△BDF∽△DEF．

理由：由（1）得．

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∴，

又∵∠B＝∠EDF，

∴△BDF∽△DEF．

（3）连接AD，如图3，

∵∠B＝∠C＝50°，

∴∠BAC＝80°，AB＝AC．

∵BD＝CD，

∴AD⊥BC．

若△DEF与△ABC相似，

∵△BDF∽△DEF，

∴△BDF与△ABC相似，

∴∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，

∴∠ADF＝90°﹣80°＝10°，或∠ADF＝90°﹣50°＝40°，

∴当（2）中的旋转角为10°或40°时，△DEF与△ABC相似．