Question

（2013•德惠市二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=4cm，DC=6cm，CB=5cm．点P从点B出发，以1cm/s的速度沿线段BA向点A匀速运动；与此同时，点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD-DC匀速运动，过点P作PM⊥AB交折线BC-CD于点M，连接QM，PQ，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（s），△PQM的面积为S（cm²）．

（1）求线段AB的长．
（2）求Q，M两点相遇时t的值．
（3）当点Q在线段CD上运动时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值．
（4）设点N为线段PQ的中点，当点Q在线段AD上运动时，点N所经过的路径是一条线段；当点Q在线段CD上运动时，点N所经过的路径也是一条线段．则这两条线段长分别为

5

cm，

1.5

cm．

Answer 1

分析：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，就可以得出四边形AECD是矩形，就有CE=AD=4，再由勾股定理就可以求出EB的值，从而得出结论；
（2）如图2，当Q，M两点相遇时DQ=AP=12-PB，得出方程2t-4=9-t，求出其解即可；
（3）当Q点在CD上运动时，分三种情况，如图4，如图5，如图6，由三角形的面积公式和梯形的面积公式就可以求出结论；
（4）如图7，当点Q在线段AD上运动时，PQ的中点N所经过的路径为EN，E为PQ的中点，过点E作EG⊥AD于G，EF⊥AB于F，由勾股定理就可以求出EN的值，如图8，当点Q在线段CD上运动时，PQ的中点N所经过的路径为EN，E为DH的中点，过点H作HG∥PQ交DC的延长线于点G，取HG的中点F，连接EF，NF，由三角形的中位线的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠BEC=90°．
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°．
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠D=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AD=CE=4cm，AE=CD=6cm．
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BE=3cm，
∴AB=6+3=9cm．
答：线段AB的长9cm；
（2）如图2，当Q，M两点相遇时
∵DQ=AP=9-PB，
∴2t-4=9-t，
∴t=

13

3

；
答：Q，M两点相遇时t=

13

3

；
（3）当2≤t＜3时，如图4，作QE⊥AB于E，
∴∠AEQ=90°．
∴四边形AEQD是矩形，
∴AD=EQ=4cm，DQ=AE=2t-4，PE=9-t-（2t-4）=13-3t．
∵tan∠B=

4

3

，
∴

PM

PB

=

4

3

，
∴

PM

t

=

4

3

，
∴PM=

4

3

t．
∴S=

( 4 3 t+4)(13-3t)

2

-

4(13-3t)

2

，
=-2t²+

26

3

t．
S=-2（t²-

13

3

t）=-2[t²-

13

3

t+（

13

6

）²-

169

36

]=-2（t-

13

6

）²+

169

18

，
∴S的最大值为

169

18

cm²；
如图5，当，3≤t＜

13

3

时，
QM=9-t-（2t-4）=13-3t，
S=

4(13-3t)

2

=-6t+26，
∴当t=3时，S_最大=8cm²；
如图6，当3≤

13

3

≤5时，
AP=DM=9-t，
∴QM=2t-4-（9-t）=3t-13，
∴S=

4(3t-13)

2

=6t-26，
∴当t=5时，S最大=4cm²．
∵

169

18

＞8＞4，
∴S的最大值为

169

18

cm²；
（4）如图7，当点Q在线段AD上运动时，PQ的中点N所经过的路径为EN，E为PQ的中点，过点E作EG⊥AD于G，EF⊥AB于F，
∴∠AGE=∠AFE=90°，
∴四边形AFEG是矩形，
∴EG=AF，EF=AG，EG∥AF，EF∥AG．
∵E是PQ的中点，F是AP的中点，
∴G是AD的中点，F是AP的中点
∴EG是△ADP的中位线，EF是△ADP的中位线，
∴EF=

1

2

AD=2，AF=GF=

1

2

AP=

1

2

（9-2）=3.5cm．
∵N是AB的中点，
∴AN=

1

2

AB=4.5cm，
∴FN=4.5-3.5=1cm．
在Rt△FEN中，由勾股定理，得
EN=

5

cm；
如图8，当点Q在线段CD上运动时，PQ的中点N所经过的路径为EN，E为DH的中点，过点H作HG∥PQ交DC的延长线于点G，取HG的中点F，连接EF，NF，
∴四边形PHGC是平行四边形，EF是△GDH的中位线，
∴EF∥DG，EF=

1

2

DG，PC=HG，CG=PH．
∵N为PC的中点，F是HG的中点，
∴CN=

1

2

PC，FG=

1

2

HG，
∴CN=FG．
∵CN∥GF，
∴四边形NFGC是平行四边形，
∴NF∥CG，CG=NF=PH，
∴E、N、F三点共线．
∵PB=5，HB=2cm，
∴PH=3cm，
∴CG=NF=3cm，
∴CG=9cm，
∴EF=

1

2

×9=4.5cm．
∴EN=1.5cm．
故答案为：

5

，1.5

点评：本题是一道几何动点问题，考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，梯形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，解答时合理运用三角形的中位线的性质是关键．