Question

2．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．
例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．
（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“理想矩形”，则点D的坐标为（-1，0）；
（2）若点A（3，4），求直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积；
（3）若点A（1，-3），直线l的“理想矩形”面积的最大值为5，此时点D的坐标为（3，-2）或（-1，-2）．

Answer 1

分析 （1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；
（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（3，4）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“理想矩形”ABCD面积；
（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x²+y²=10．由（x-y）²=x²+y²-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

点D的坐标为（-1，0）．
故答案为（-1，0）；

（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．

∵点A的坐标为（3，4），
∴AC=AO=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，AF=3，OF=4．
∵点A（3，4）在直线y=kx+1上，
∴3k+1=4，
解得k=1．
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，
∴FG=4-1=3=AF，
∴∠FGA=45°，AG=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=3$\sqrt{2}$．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{25-18}$=$\sqrt{7}$．
∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB•BC=3$\sqrt{14}$；

（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，
则有x²+y²=AC²=AO²=1²+3²=10．
∵（x-y）²=x²+y²-2xy=10-2xy≥0，
∴xy≤5．
当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形． 
①当点D在第四象限时，如图3，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，
易证RtAMB≌Rt△DNA，
则有AN=BM=2，DN=AM=1，
∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）．
②当点D在第三象限时，如图4，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，
易证RtANB≌Rt△DMA，
则有DM=AN=1，AM=BN=2，
∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．  
故答案分别为：5、（3，-2）或（-1，-2）．

点评 本题主要考查了用待定系数法求直线的解析式、圆的定义、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想，运用公式（x-y）²=x²+y²-2xy推出当“理想矩形”是正方形时面积最大是解决第3小题的关键．