如图.四边形ABCD是平行四边形.过点A.C.D作抛物线y=ax2+bx+c.与x轴的另一交点为E.连结CE.点A.B.D的坐标分别为．(1)求抛物线的解析式,(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F.交线段CD于点K.点M.N分别是直线l和x轴上的动点.连结MN.当线段MN恰好被BC垂直平分时.求点N的坐标,的条件下.过点M作一条直线.使之将四边形AECD的面积分为3:4的两部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

【答案】分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；
（3）过点M作直线交x轴于点P₁，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．
解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∴点C的坐标为（5，4），
∵过点A、C、D作抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

，
解得

．
故抛物线的解析式为y=-

x²+

x+4．

（2）连结BD交对称轴于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，

过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，
易证GH=HN，
∴点G与点M重合，
故直线BD的解析式y=-

x+4
根据抛物线可知对称轴方程为x=

，
则点M的坐标为（

，

），即GF=

，BF=

，
∴BM=

，
又∵MN被BC垂直平分，
∴BM=BN=

，
∴点N的坐标为（

，0）；

（3）过点M作直线交x轴于点P₁，
易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，
由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P₁M必与线段CD相交，
设交点为Q₁，四边形AP₁Q₁D的面积为S₁，四边形P₁ECQ₁的面积为S₂，点P₁的坐标为（a，0），
假设点P在对称轴的左侧，则P₁F=

-a，P₁E=7-a，
由△MKQ₁∽△MFP₁，得

，
易求Q₁K=5P₁F=5（

-a），
∴CQ₁=

-5（

-a）=5a-10，
∴S₂=

（5a-10+7-a）×4=28×

，
解得：a=

，
根据P₁（

，0），M（

，

）可求直线P₁M的解析式为y=

x-6，
若点P在对称轴的右侧，则直线P₂M的解析式为y=-

．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

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