Question

关于x的函数为y=kx²-4x-5．
（1）当k取何值时，该函数的图象与x轴只有一个交点？
（2）若关于x的方程kx²-4x-5=0的一个根为-1，求方程的另一根及k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分类讨论：①当k=0时，该函数图象与x轴的交点情况；②当k≠0时，关于x的方程kx²-4x-5=0的根的判别式来求k的值；
（2）根据方程的解的定义，将x=-1代入原方程列出关于k的新方程，通过解该新方程即可求得k的值；然后利用根与系数的关系求方程的另一根．
解答：解：（1）①当k=0时，关于x的函数为一次函数y=4x-5．
则该函数与x轴有一个交点；
②当k≠0时，关于x的函数y=kx²-4x-5的图象为抛物线；
令kx²-4x-5=0，当该函数的图象与x轴只有一个交点时，
△=（-4）²-4k×（-5）=0，
解得，k=-；
综合①②，当k=0或k=-时，该函数的图象与x轴只有一个交点；

（2）设方程的另一根为x₂．
根据题意，得
k×（-1）²-4×（-1）-5=0，
解得，k=1；
则由韦达定理知，-1+x₂===4，
解得，x₂=5，
即该方程的另一根为5．
点评：本题考查了抛物线与x轴交点问题．解（1）题时，要注意对二次项系数k进行分类讨论，以防漏解．