Question

（2004•上海）附加题：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，⊙A的半径为1，如图所示．若点O在BC上运动（与点B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．
（1）求关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，求当⊙O与⊙A相外切时，△AOC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AD⊥BC．根据y=S_△ABC-S_△ABO，建立y与x的函数关系式；
（2）作AD⊥BC．根据两圆外切的定义，AO=2+x，应用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值，进而可得△AOC的面积．
解答：解：（1）作AD⊥BC．
∵∠BAC=90°，AB=AC=，
∴AD=2sin45°=2．
∴y=S_△ABC-S_△ABO=×2×2-×2x=4-x（0＜x＜4）；

（2）当⊙O与⊙A相外切时，
在等腰Rt△ABC中，AD=2，BD=2，则OD=2-x．
在Rt△AOD中，（x+1）²=2²+（2-x）²，解得x=，
则△AOC的面积为OC•AD=×（OD+DC）×AD=×（2+2-）×2=．
点评：此题结合圆的相关概念，考查了利用面积关系建立函数关系式的能力．此类题目主要运用了转化思想和数形结合思想．