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(2004•上海)附加题:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1,如图所示.若点O在BC上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.
(1)求关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)以点O为圆心,BO长为半径作⊙O,求当⊙O与⊙A相外切时,△AOC的面积.

【答案】分析:(1)作AD⊥BC.根据y=S△ABC-S△ABO,建立y与x的函数关系式;
(2)作AD⊥BC.根据两圆外切的定义,AO=2+x,应用勾股定理建立关于x的方程,求出x的值,进而可得△AOC的面积.
解答:解:(1)作AD⊥BC.
∵∠BAC=90°,AB=AC=
∴AD=2sin45°=2.
∴y=S△ABC-S△ABO=×2×2-×2x=4-x(0<x<4);

(2)当⊙O与⊙A相外切时,
在等腰Rt△ABC中,AD=2,BD=2,则OD=2-x.
在Rt△AOD中,(x+1)2=22+(2-x)2,解得x=
则△AOC的面积为OC•AD=×(OD+DC)×AD=×(2+2-)×2=
点评:此题结合圆的相关概念,考查了利用面积关系建立函数关系式的能力.此类题目主要运用了转化思想和数形结合思想.
练习册系列答案
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(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;
(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;
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(2)以点O为圆心,BO长为半径作⊙O,求当⊙O与⊙A相外切时,△AOC的面积.

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