分析 （1）根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等即可判断．
（2）结论：AB-DE=$\sqrt{2}$EF，首先证明CA=CF，再根据EF=CF-CE=CA-CE，得$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CA-$\sqrt{2}$CE，由此即可证明．
（3）如图3中，以D为圆心1为半径作⊙D，过点B作⊙D的切线BP、BP′，连接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．求出BE、AF即可解决问题．
解答 （1）证明：如图1中，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
（2）结论：AB-DE=$\sqrt{2}$EF，
理由：如图2中，
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CE，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，AB=$\sqrt{2}$CA，
∵∠CED=∠F+∠EAF，
∴∠F=45°-∠EAF，
∵∠CAF=∠CAB-∠FAB=45°-∠FAB，
∵∠EAF=∠FAB，
∴∠CAF=∠F，
∴CA=CF，
∵EF=CF-CE=CA-CE，
∴$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CA-$\sqrt{2}$CE=AB-DE．
∴AB-DE=$\sqrt{2}$EF．
（3）如图3中，以D为圆心1为半径作⊙D，过点B作⊙D的切线BP、BP′，连接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．
∵四边形ABCD是正方形，CD=BC=AB=AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$DC=2，∠ABC=90°，
在Rt△PBD中，∵∠BPD=90°，BD=2，DP=1，
∴∠PBD=30°，同理∠P′BD=30°，
∴∠ABE=∠CBP=15°，
在△ABE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFB}\\{∠EAB=∠FBA=75°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAF，
∴∠ABE=∠OAB=15°，
∴∠AOE=∠FOB=30°，
∴AO=OB=2AE，设AE=a，则AO=OB=2a，EO=$\sqrt{3}$a，
∴EB=AF=2a+$\sqrt{3}$a，
∵AB2=AE2+BE2，
∴2=a2+（2a+$\sqrt{3}$a）2，
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$（负根已经舍弃），
∴AE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，AF=BE=2a+$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、圆等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会利用圆的切线的性质解决问题，属于中考压轴题．
举一反三期末百分冲刺卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．查看答案和解析>>
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如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于69°．