【题目】(1)已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的外角平分线,交CB边的延长线于点D.
求证:BD=AB+AC.
(2)对于任意三角形ABC,∠ABC=2∠C,AD是∠BAC的外角平分线,交CB边的延长线于点D,如图2,请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明.
【答案】(1)答案见解析;(2)DB=AB+AC.
【解析】试题分析:(1)如图,在AE上截取AF=AB,连接DF,先证明△ABD≌△AFD,可得DF=DB,∠DBA=∠DFA=90°,再利用等腰直角三角形的性质证得DF=FC,即可证得结论;(2)BD=AB+AC,如图,在AE上截取AF=AB,连接DF,先证明△ABD≌△AFD,可得DF=DB,∠DBA=∠DFA,,再利用三角形外角的性质和已知条件证得∠C=∠FDC,根据等腰三角形的性质可得DF=FC,即可证得结论.
试题解析:
(1)如图,在AE上截取AF=AB,连接DF.
∵AD是∠BAC的外角平分线,
∴∠BAD=∠DAE.
在△ABD和△AFD中,
,
∴△ABD≌△AFD,
∴DF=DB,∠DBA=∠DFA=90°,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠C=45°,
∴△FDC为等腰直角三角形,
∴DF=FC.
∴BD=FC=AF+AC=AB+AC.
(2)BD=AB+AC,理由如下:
如图,在AE上截取AF=AB,连接DF.
∵AD是∠BAC的外角平分线,
∴∠BAD=∠DAE.
在△ABD和△AFD中,
,
∴△ABD≌△AFD,
∴DF=DB,∠DBA=∠DFA,
∴∠EFD=∠ABC,
∵∠ABC=2∠C,∠ABC=∠C+∠FDC,
∴∠C=∠FDC,
∴DF=FC.
∴BD=FC=AF+AC=AB+AC.
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【题目】某种商品因换季准备打折出售,如果按照原定价的七五折出售,每件将赔25元,而按原定价的九折出售,每件将赚20元,则这种商品的原定价是( )
A.200元B.300元C.320元D.360元
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【题目】已知,抛物线(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使,求点P的坐标;
(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.
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【题目】某市积极开展“阳光体育进校园”活动,各校学生坚持每天锻炼一小时.某校根据本校的实际情况,决定开设 A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳四种运动项目.规定每个学生必须参加一项活动.学校为了了解学生最喜欢哪一种项目,拟采用以下的方式进行调查.
方式一:调查该校七年级女生喜欢的运动项目
方式二:调查该校每个班级学号为 5 的倍数的学生喜欢的运动项目
方式三:调查该校书法小组的学生喜欢的运动项目
方式四:调查该校田径队的学生喜欢的运动项目
(1)上面的调查方式合适的是 ;
学校体育组采用了(1)中的方式,将调查的结果绘制成右侧两幅不完整的统计图.请你结合图中的信息解答下列问题:
(2)在扇形统计图中,B 项目对应的圆心角的度数为 ;
(3)请补全条形统计图;
(4)已知该校有 3600 名学生,请根据调查结果估计全校学生最喜欢乒乓球的人数.
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【题目】如图,已知△ABC,∠C=90,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连结AD,若∠B=37°,则∠CAD=_________度.
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【题目】如图,OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线.
(1)如图1,当∠AOB=90°,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?为什么?
(2)如图2,当∠AOB=70°,∠BOC=60°时,∠MON= (直接写出结果).
(3)如图3,当∠AOB=α,∠BOC=β时,猜想:∠MON= (直接写出结果).
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠C>∠B,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B=30°,∠C=50°,求∠DAE的度数;
(2)∠DAE与∠C-∠B有何关系?
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【题目】如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.当点E、F在BC、CD上滑动时,则△CEF的面积最大值是____.
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