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【题目】1已知如图1等腰直角三角形ABCB=90°AD是∠BAC的外角平分线CB边的延长线于点D

求证BD=AB+AC

2)对于任意三角形ABCABC=2∠CAD是∠BAC的外角平分线CB边的延长线于点D如图2请你写出线段ACABBD之间的数量关系并加以证明

【答案】(1)答案见解析;(2)DB=AB+AC.

【解析】试题分析:(1)如图,在AE上截取AF=AB,连接DF先证明△ABD△AFD可得DF=DBDBA=∠DFA=90°再利用等腰直角三角形的性质证得DF=FC,即可证得结论;(2BD=AB+AC如图,在AE上截取AF=AB,连接DF先证明△ABD△AFD,可得DF=DBDBA=∠DFA,,再利用三角形外角的性质和已知条件证得∠C=∠FDC根据等腰三角形的性质可得DF=FC,即可证得结论.

试题解析:

1)如图,在AE上截取AF=AB,连接DF.

AD∠BAC的外角平分线,

∠BAD=∠DAE.

在△ABD和△AFD中,

,

∴△ABD△AFD

∴DF=DB∠DBA=∠DFA=90°

∵△ABC为等腰直角三角形,

∴∠C=45°

∴△FDC为等腰直角三角形,

∴DF=FC.

∴BD=FC=AF+AC=AB+AC.

(2)BD=AB+AC,理由如下:

如图,在AE上截取AF=AB,连接DF.

AD∠BAC的外角平分线,

∠BAD=∠DAE.

在△ABD和△AFD中,

,

∴△ABD△AFD

∴DF=DB∠DBA=∠DFA

∴∠EFD=∠ABC

∵∠ABC=2∠C∠ABC=∠C+∠FDC

∴∠C=∠FDC

∴DF=FC.

∴BD=FC=AF+AC=AB+AC.

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