Question

4．如图，四边形ABCD中，AB=AD=10，AC平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于CD的延长线上的点F，BC=21，CD=9，求AC的长．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质得到AE=AF，证明Rt△AEB≌Rt△AFD，得到BE=DF，根据CD+DF=BC-BE，求出BE的长，根据勾股定理求出答案．

解答 解：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△AEB和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL），
∴BE=DF，
又∵CE=CF，
∴CD+DF=BC-BE，即9+DF=21-BE，
解得BE=DF=6，则CE=15，
由勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=17．

点评 本题考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．