Question

18．如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，过D作DE⊥BC，交AC于点F．
（1）若OF•AD=EC•AO，连接OE，判断并证明四边形OECD的形状；
（2）若BE=CD且BD⊥CD，求证：BO•AF=AC•DF．

Answer 1

分析 （1）四边形OECD是梯形，理由是：如图1，根据三个角是直角的四边形是矩形先证明四边形ABED是矩形，得AB∥DF，得比例式：$\frac{OF}{AO}=\frac{OD}{OB}$，根据已知的OF•AD=EC•AO，化成比例式后得：$\frac{OF}{AO}=\frac{EC}{AD}$，则
$\frac{EC}{BE}=\frac{OD}{OB}$，则OE∥DC，又因为OD与EC不平行，得四边形OECD是梯形；
（2）先证明△DFC∽△BOC，得∠BOC=∠DFC，则∠DOF=∠DFO，最后得AB=BO；再证明△ADF∽△CBA，得比例式，等量代换后化成乘积式得结论．

解答 证明：（1）四边形OECD是梯形，理由是：
如图1，∵OF•AD=EC•AO，
∴$\frac{OF}{AO}=\frac{EC}{AD}$，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠ABE=180°-90°=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠BAD=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB∥DF，AD=BE，
∴$\frac{OF}{AO}=\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{EC}{AD}=\frac{OD}{OB}$，
∵AD=BE，
∴$\frac{EC}{BE}=\frac{OD}{OB}$，
∴OE∥CD，
由图形可知：直线DO与直线CE交于点B，即OD与EC不平行，
∴四边形OECD是梯形；
（2）如图2，∵BD⊥CD，
∴∠BDE+∠EDC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠DBE=90°，
∵AB∥DE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠EDC=∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=BE，BE=DC，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB，
∴△DFC∽△BOC，
∴∠BOC=∠DFC，
∴∠DOF=∠DFO，
∵∠AOB=∠DOF，∠BAO=∠DFO，
∴∠AOB=∠BAO，
∴AB=BO，
∵∠DAC=∠ACB，∠ADF=∠ABC=90°，
∴△ADF∽△CBA，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{AB}$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BO}$，
∴BO•AF=AC•DF．

点评 本题考查了相似三角形、直角梯形和梯形的性质及判定，此类题有难度；一般情况下判定一个四边形是梯形时，要注意证明两个结论：①一组对边平行，②另一组对边不平行；此题有几点得出比较关键：①BE=CD，通过AD的转化，变为同一个三角形中，可以利用等边对等角得角的关系；②AB=BO：通过证得△DOF为等腰三角形，而等腰三角形的得出，又通过证明△DFC∽△BOC，根据相似性质得：第三个角相等得出；从而使最后的问题得以解决．