Question

如图，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2），点B是直线x=4上的一个动点，并且在第一象限内，AC、BO交于点M，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、C、M．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）如果AB＜OC，求抛物线顶点的横坐标的范围；
（3）你认为点M在抛物线y=ax²+bx+c上位置有何特殊之处？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）将点A的坐标（4，0），点C的坐标（0，2），代入解析式即可求出直线AC的函数表达式；
（2）设B点的坐标为（4，k），M的坐标为（m，n），由AB∥OC，得出用含k的式子表示m，n，得出M的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据AB＜OC，即得出0＜k＜2，进而得出抛物线顶点的横坐标的范围；
（3）根据点M的坐标和抛物线的解析式，分三种情况：m＞6，m=6，m＜6得出点M所在的直线和x轴的位置关系以及与抛物线y=ax²+bx+c的交点个数．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2），
∴

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直线AC的函数表达式为：y=-

1

2

x+2；

（2）设B点的坐标为（4，k），M的坐标为（m，n），
∵AB∥OC，
∴

n

2

=

4-m

4

，

n

k

=

m

4

，
∴M的坐标为（

8

k+2

，

2k

k+2

），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、C、M．
∴

c=2 16a+4b+c =k ( 8 k+2 )2a+ 8 k+2 b+c= 2k k+2

，
解得：

a= k+2 16 b=-1 c=2

，
∵AB＜OC，点B是直线x=4上的一个动点，并且在第一象限内，
即0＜k＜2，
∵抛物线的顶点的横坐标x=-

b

2a

=

8

K+2

，
∴2＜x＜4，
∴抛物线顶点的横坐标的范围为：2＜x＜4；

（3）∵M的坐标为（

8

k+2

，

2k

k+2

），
∵M（m，n），
∴M（

2m

m+2

，

2m

m+2

），
∴抛物线y=ax²+bx+c的解析式为：y=

k+2

16

x²-x+2，
∴

2m

m+2

=[

1

4

（m+2）x²]+[

1

4

（m+2）x]+2，
[（m+2）x]²+x（m+2）²+16=0，
△=（m+2）⁴-64（m+2）²
当m＞6时，m²+4m-60＞0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]＞0
点M并且和x轴平行的直线和抛物线有2个公共点
当m=6时，m²+4m-60=0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]=0
点M并且和x轴平行的直线和抛物线有1公共点
当m＜6时，m²+4m-60＜0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]＜0
点M并且和x轴平行的直线和抛物线没有公共点

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了直线的表达式、抛物线的表达式以及直线和x轴的交点问题，当判别式大于0，抛物线和x轴有两个交点；当判别式小于0，抛物线和x轴有一个交点；当判别式等于0，抛物线和x轴无交点．