Question

（2009•泰兴市模拟）已知：如图1所示，直线x+y=9与x轴、y轴相交于C、D两点，直线2x+3y+12=0与x轴、y轴相交于A、B两点，F（4，0）是x轴上一点，过C点的直线l垂直于x轴，N是直线l上一点（N点与C点不重合），连接AN．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）若P是AN的中点，PF=5，猜想∠APF的度数，并说明理由；
（3）如图2所示，连接NF，求△AFN外接圆面积的最小值，并求△AFN外接圆面积的最小时，圆心G的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）联立方程组可求得A（-6，0），D（0，9）；
（2）根据题意可知∠FPA=90°，取AC的中点Q，则PQ是△CAN的中位线．通过证明在△AFP和△PFQ中，∠QFP=∠PFA，可证△AFP∽△PFQ，即∠APF=∠PQF=90度；
（3）作线段AF的垂直平分线MH，交AF于点H，则圆心G在MH上，设G点的坐标为（-1，m），N点的坐标为（9，n），则△AFN的外接圆的半径为GN，求△AFN的外接圆面积的最小值，即求线段CN长度的最小值，据点到直线距离的定义和矩形的性质以及勾股定理可求得点G的坐标为（-1，）或（-1，-）．
解答：解：（1）求得A（-6，0），D（0，9）；

（2）∠FPA=90°．
取AC的中点Q，则PQ是△CAN的中位线．
∵NC⊥x轴，
∴PQ⊥X轴，∠AQP=90°，
∴AQ=AC=7.5，
∴QF=AF-AQ=10-7.5=2.5，
∴，，
∴，
在△AFP和△PFQ中，∠QFP=∠PFA，
∴△AFP∽△PFQ，
∴∠APF=∠PQF=90°，

（3）作线段AF的垂直平分线MH，交AF于点H，则圆心G在MH上，且点H的横坐标为-1，
设G点的坐标为（-1，m），N点的坐标为（9，n），则△AFN的外接圆的半径为GN，
求△AFN的外接圆面积的最小值，即求线段CN长度的最小值，
根据点到直线距离的定义知：当GN⊥CN时，GN的长度最短，
此时四边形GHCN为矩形，GN=HC=FG=10，
在Rt△GHF中，HF=5，
由勾股定理得：GH²=FG²-HF²，
∴m²=75，
m=±，
此时，点G的坐标为（-1，）或（-1，-）．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质，勾股定理等来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．