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精英家教网以关于m的方程m2+(k-4)m+k=0的最大整数根为直径作⊙O.P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点.这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,求PA、PB、PC的长.
分析:运用根与系数的关系以及切割定理得出根的取值范围,进而确定z的取值,从而解决.
解答:解:设方程两根为m1、m2
m1+m2=4-k,①
m1m2=k.②

又设PA=x,PB=y,BC=z,则x﹑y﹑z都是正整数.
由切割线定知
PA2=PB•PC=PB(PB+BC),
即x2=y2+yz?(x+y)(x-y)=yz.③
消去①和②中的k,得
m1m2=4-m1-m2
整理分解,得
(m1+1)(m2+1)=5.
因为⊙O的直径是方程的最大整数根,不难求得最大整根m=4.进而,z=BC≤4.
又正整数z不是合数,故z=3,2,1.
当z=3时,(x+y)(x-y)=3y,有
x+y=3
x-y=y
x+y=y
x-y=3
x+y=3y
x-y=1.

可得适合题意的解为x=2,y=1.
当z=1和z=2时,没有适合题意的解,
所以,PA=x=2,PB=y=1,PC=y+z=4.
点评:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,以及切割线定理,综合性较强.
练习册系列答案
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(1)求证:CD=EF;
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(1)求AB、AC的长;
(2)若tan∠ACO=
43
,P是AB的中点,求过C、P两点的直线解析式;
(3)在(2)问的条件下,坐标平面内是否存在点M,使以点O、M、P、C为顶点的四边形是平精英家教网行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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1
x1
1
x2
为两根的一元二次方程.

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