Question

5．如图，在矩形OABC中，OA=4，AB=5，点D为边BC上一点，将△ABD沿直线AD折叠，使点B恰好落在OC边上的E处，分别以OA，OC所在的直线x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长．
（2）求经过O，DA三点的抛物线的解析式（关系式）
（3）在（2）中抛物线及其对称轴上，是否分别存在点M，N使得以M，N，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质，可得CE与CB的关系，DE与BD的关系，根据勾股定理，OE的长，根据线段的和差，可得答案；
（2）设DE=DB=x，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出点D坐标，根据待定系数法，可得答案；
（3）①以EN为对角线，根据对角线互相平分，可得AM的中点与EN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
②当EM为对角线，根据对角线互相平分，可得AN的中点与EM的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
③当AE为对角线，根据对角线互相平分，可得AE的中点与MN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）如图1中，

∵△ADE是由△ADB翻折得到，
∴AE=AB=5，
在Rt△AOE中，∵∠AOE=90°，AE=5，OA=4，
∴OE=$\sqrt{A{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．

（2）设DE=DB=x，在Rt△CDE中，∵CE²+CD²=DE²，
∴x²=2²+（4-x）²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，5），
∵抛物线经过原点，所以可以假设抛物线解析式为y=ax²+bx，
把A（4，0），D（$\frac{3}{2}$，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=5}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{16}{3}$，
∴经过O、D、A三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x．

（3）（3）∵抛物线的对称为直线x=-2，
∴设N（-2，n），
又由题意可知A（-4，0），E（0，3），设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形EANM是平行四边形时，如图2，
，
则线段EN的中点横坐标为$\frac{0+2}{2}$=1，线段AM中点横坐标为 $\frac{4+m}{2}$，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{4+m}{2}$=1，解得m=-2，
又M点在抛物线上，
∴y=-$\frac{4}{3}$×（-2）²+$\frac{16}{3}$×（-2）=-16
∴M（-2，-16）；     
②当EM为对角线，即四边形EAMN是平行四边形时，如图3，
，
则线段EM的中点横坐标为$\frac{m+0}{2}$，线段AN中点横坐标为$\frac{2+4}{2}$=3，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{m}{2}$=3，解得m=6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=-$\frac{4}{3}$×（6）²+$\frac{16}{3}$×（6）=-16，
∴M（6，-16）；
③当AE为对角线，即四边形EMAN是平行四边形时，如图4，
，
同理可得，m+2=4+0，
解得m=2，
当m=2时，y=-$\frac{4}{3}$×（2）²+$\frac{16}{3}$×（2）=$\frac{16}{3}$，
即M（2，$\frac{16}{3}$）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（-2，-16）或（6，-16）或（2，$\frac{16}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用翻折的性质得出CE的长是解题关键；利用勾股定理得出D点坐标是解题关键；利用平行四边形的对角线互相平分得出m的值是解题关键，要学会分类讨论，以防遗漏，属于中考压轴题．